О книге Э. М. Карташова "Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел"

(Москва, "Высшая школа", 2001)

Аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных 
разделов современных инженерных исследований в машиностроительной, 
энергетической, атомной промышленности, в технологических процессах 
химической, строительной, текстильной, пищевой, геологической и других 
отраслях промышленности. Следует также отметить, что инженерные исследования 
кинетики целого ряда физических и химико-технологических процессов 
аналогичны задачам стационарной и нестационарной теплопроводности. 
Именно этими обстоятельствами объясняется бурное развитие теории теплообмена 
в последние десятилетия, в частности, развитие аналитических методов 
решения краевых задач для уравнения теплопроводности и ему родственных. 
Не проводя сравнения с другими подходами, отметим, что аналитические 
решения краевых задач тепло- и массопереноса дают возможность наглядного 
и удобного анализа явлений, позволяют отразить влияние всех факторов, 
оценить их значимость и выделить главные их них. Число публикаций 
в этой области непрерывно растет, охватывая все новые содержательные 
математические объекты и все большее число самых разнообразных приложений, 
и становится практически необозримым. По-видимому, дальнейшее накопление 
частных результатов стало малополезным, и для специалистов-прикладников 
более эффективным является овладение аналитическими методами в теории 
тепло- и массопереноса, позволяющими получать решения большого числа 
частных краевых задач. В этом смысле выход в свет учебного пособия 
Э. М. Карташова по аналитическим методам весьма своевременно. Книга 
не повторяет известные монографии и учебные пособия по аналитической 
теории теплопроводности и занимает свое особое достойное место. Автор 
книги - математик-прикладник, активно работающий в области аналитической 
теории тепло- и массопереноса, термомеханики, физики прочности твердых 
тел, что определяет основные достоинства этого учебного пособия. Его 
высокий научный уровень сочетается с тщательным отбором и продуманным 
изложением материала, большая часть которого содержится, по-видимому, 
только в книге Э. М. Карташова. Первые два издания этой книги (1979 
и 1985 гг.) были высоко оценены специалистами. Третье издание книги 
существенно дополнено по сравнению с предыдущими.

В книге систематически изложены основные аналитические методы решения 
краевых задач нестационарной и стационарной теплопроводности: 
разделения переменных, Дюамеля, интегральных преобразований, источников 
и изображений, операционный, функции Грина. К числу оригинальных относится 
глава по аналитическим методам решения краевых задач нестационарной 
теплопроводности в областях с движущимися во времени границами, включая 
задачи Стефана (прямые и обратные) и более общие для уравнений параболического 
типа со свободной границей, а также тепловые задачи с переменным во 
времени относительным коэффициентом теплообмена. Большая часть их 
этих методов разработана лично автором и опубликована в его работах 
и известных обзорах по аналитическим методам в теории теплопроводности. 
Значительное место в книге уделено спектральным задачам в декартовой, 
цилиндрической и сферической системах координат и нахождению собственных 
значений и собственных функций для областей канонического вида. Это 
весьма ценные результаты положены в основу предложенных далее практических 
таблиц конечных и бесконечных интегральных преобразований, позволяющих 
оперативно выписывать по единообразной методике решение любой тепловой 
задачи (линейной, плоской и пространственной, включая и несимметричные 
случаи).

Каждому методу отводится самостоятельная глава или параграф, 
и после теоретического обоснования метода приводятся решения ряда 
конкретных задач. Предлагаются также оригинальные задачи с пояснениями 
для самостоятельного решения. В конце пособия автор формулирует большое 
число конкретных проблем современной аналитической теории теплопроводности, 
которые могут являться предметом серьезных научных исследований не только 
для студентов и аспирантов, но и специалистов более высокого уровня.

Материал излагается в традиционном стиле, характерном для 
классической математической физики; большое внимание уделяется вопросам 
корректности постановки краевых задач, единственности решений и описывающим 
их классам функций. Для ряда методов идеи, выработанные в рассматриваемой 
области, обобщаются и переносятся на более сложные случаи, за рамки 
их обычного использования.

Изложение классического материала по аналитической теории 
теплопроводности дополняется рядом оригинальных разделов. Так, в главе 
1 дается физическая теория для связанного уравнения нестационарной 
теплопроводности с учетом процессов внутреннего деформирования среды 
и их влияния на градиент температуры. Эффект связности, обычно игнорируемый 
для традиционных сред, становится существенным для новых полимерных 
материалов. В этой же главе приводится последовательное усложнение 
модельных представлений теории теплопроводности для уравнений гиперболического 
типа на основе гипотезы Максвелла-Каттанео-Лыкова о конечной скорости 
распространения тепла и в средах с тепловой памятью для линеаризированного 
уравнения Гуртина-Пипкина. Рассматриваются также модельные представления 
теории теплового удара в терминах динамических задач термоупругости 
и термовязкоупругости на основе линейных реологических моделей. Приведенные 
в последнем случае модели представляют собой практически неизученные 
проблемы современной теории теплопроводности и термомеханики.

Следует отметить новые виды граничных условий в аналитической 
теории теплопроводности (глава 2): условие теплоизоляции движущейся 
границы (отличное от классического условия теплоизоляции неподвижной 
границы области) и граничное условие, заменяющее условия сопряжения 
в случае контакта двух тел; новую редакцию формулы Грина для оператора 
Лапласа для системы двух сред (глава 5); аналитические решения тепловых 
задач при переменных коэффициентах переноса, включая нелинейные случаи 
(глава 6); обобщающую таблицу для новых законов движения границы, 
допускающих точные аналитические решения соответствующих тепловых 
задач (глава 8). В этих (и других) случаях читатель сможет сформулировать 
для себя новые модели теплопроводности, представляющие большой практический 
интерес.

Книгу Э. М. Карташова отличает большая информативность. 
Она может служить во многих отношениях справочным руководством по 
аналитическим решениям теории теплопроводности твердых тел.

К сожалению, в рецензируемой книге недостаточно представлены 
вариационные методы приближенного решения, анализ неканонических областей 
теплопереноса; большее внимание следовало бы уделить уравнению гиперболического 
типа, а также многослойным средам.

Книга Э. М. Карташова, продолжающая традиции академика А. В. Лыкова, 
развившего аналитическую теорию тепло- и массопереноса - бесспорный вклад
в аналитическую теорию теплопроводности твердых тел.

С. П. Рудобашта, В. Ф. Формалев